관심 높아지는 매듭이론

본격적인 휴가철을 맞아 산과 물이 좋은 장소로 텐트와 각종 장비를 가지고 캠핑을 떠나는 사람도 많다. 캠핑 전문가들에 따르면 고수와 초보자의 차이는 텐트를 고정시킬 때 묶는 ‘매듭’을 보면 된다고 한다. 매듭은 실이나 끈을 사용해 매고 죄면서 여러 가지 모양을 만드는 것인데 잘 만들어진 매듭을 보면 미적인 아름다움뿐만 아니라 질서와 균형을 느낄 수 있다. 그런데 물리학자와 수학자들도 매듭에 대해 관심을 갖고 주요 연구 대상으로 삼고 있다는 점은 잘 알려져 있지 않다.매듭을 과학적 연구 대상으로 삼기 시작한 사람은 19세기 초 독일의 천재 수학자 카를 가우스다. 그렇지만 현대적 ‘매듭이론’ 연구는 ‘분자의 화학적 성질은 이를 구성하는 원자들이 어떻게 꼬여서 매듭을 이루고 있는가에 달려 있다’는 켈빈의 ‘보텍스 이론’을 토대로 하고 있다. 매듭이론은 지난 30년간 과학기술 선진국을 중심으로 눈부시게 발전해 왔으며 매듭을 연구하는 수학자 중에서 ‘수학의 노벨상’이라고 부르는 필즈상 수상자도 다수 나왔다.

일상생활에서 볼 수 있는 매듭은 긴 줄을 꼬아 묶은 것을 말하지만 수학에서 이야기하는 매듭은 줄의 양 끝이 붙어 있는 원형 형태다. 원형의 ‘0(영)매듭’이 비틀리고 꼬이면서 다양한 형태의 매듭을 만드는 것이다. 과학에서는 하나의 매듭을 끊지 않고 매끄럽게 움직여 다른 형태의 매듭으로 바꿀 수 있으면 같은 종류의 매듭이라고 분류한다. 어린아이들이 즐겨 하는 실뜨기는 계속 다른 모양으로 바뀌지만 손을 빼내 풀면 결국 영매듭이 되기 때문에 수학적으로는 같은 매듭으로 분류된다. 수학자들은 다양한 종류의 매듭을 보면서 이것들이 같은 것인지를 찾아내는 연구를 한다.수학자들이 매듭을 분류하는 기준은 ‘교차점’의 개수다. 교차점이 3개인 ‘세 잎 매듭’은 두 종류가 있는데 이 둘은 서로 거울에 비춘 모양을 하고 있지만 자르고 붙이는 과정을 거치지 않고는 다른 세 잎 매듭으로 바꿀 수 없기 때문에 서로 다른 종류의 매듭으로 분류한다.

19세기 말 영국 수학자 테이트와 리틀은 교차점 수가 10개 이하인 매듭들을 분류해 냈지만 교차점 수가 증가하면 할수록 매듭 종류는 늘어나고 계산도 복잡해진다. 최근 컴퓨팅 기술의 발달로 교차점이 16개 이하인 매듭은 170만 1936가지로 분류된다는 사실이 밝혀지기도 했다.

금세기 최고의 물리학자로 꼽히면서 필즈상까지 받은 미국 고등과학연구소의 에드워드 위튼 교수는 양자장론(quantum field theory)과 매듭이론을 효과적으로 결합시켜 우주를 이해하는 데 이용한다.

수학과 물리학 외에 생물학에서도 매듭이론은 중요하다. DNA처럼 분자량이 큰 물질들의 행태를 설명하는 데 도움을 주기 때문이다. DNA는 전체적으로 원 모양을 이루는데 자체 장력 때문에 원형을 유지하지 못하고 꼬여서 뭉치면서 이중나선 형태로 보인다. DNA를 복제할 때는 이중나선이 분리돼 한 가닥이 돼야 한다. DNA 복제 시 필요한 부분을 정확히 한 가닥으로 풀어 주고 복제가 끝나면 다시 이어 이중나선을 만들어 줘야 하는데 이런 역할을 하는 것이 효소다. 매듭이론은 효소가 어떻게 DNA의 특정 지점을 끊었다가 이어 주는지에 대한 해답을 주는 것이다.

선진국에 비해 늦기는 했지만 국내 연구자들도 매듭 연구 분야에 뛰어들어 가시적 성과를 내고 있다. 기초과학연구원(IBS) 기하학 수리물리연구단의 김선화, 안병희, 배영진 연구위원은 기존의 방법으로는 구별이 어려웠던 ‘르장드르 특이 매듭’을 구별할 수 있는 방법을 개발하는 데 성공해 주목받고 있다. 이번 연구 결과는 미개척 분야에 대한 성과를 인정받아 조만간 사교기하학 분야 국제학술지 ‘저널 오브 심플렉틱 지오메트리’에 실릴 예정이다.

배영진 IBS 연구위원은 “수학적 대상에 대한 이해는 어떤 조건들을 만족하는 것들을 분류하는 데서 시작하는데 매듭의 분류는 공간을 이해하고 분류하는 데 중요한 단서를 제공한다”고 설명했다. 배 연구위원은 “이번 연구를 통해 르장드르 특이 매듭을 분류하는 데 새로운 연산 구조를 발견함으로써 장기적으로 매듭이론과 초끈이론의 발전을 가져다줄 수 있을 것”이라고 말했다.

유용하 기자 edmondy@seoul.co.kr